贝塞尔简介#
贝塞尔曲线(Bezier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线，在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具，如PhotoShop等。曲线的一些特性：#
使用n个控制点{P1,P2,...,Pn}来控制曲线的形状
曲线经过起点P1和终点Pn，但不经过中间点P2 Pn−1
公式推导#
一次贝塞尔曲线（线性公式）#
定义：给定点,P0,P1,线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线，这条线由下式给出，且其等同于线性插值：B(t)=P0+(P1−P0)t=(1−t)P0+tP1,t∈[0,1]
其中，公式中的 P0,P1,同步表示为横或纵坐标。假设P0坐标为(a,b),P1的坐标为(c,d),P2的坐标为（x,y）,则有c−xx−a=1−tt⇒x=(1−t)a+tc
d−yy−b=1−tt⇒y=(1−t)b+td
B(t)=(1−t)P0+tP1,t∈[0,1]
二次贝塞尔曲线（二次方公式）#
定义：二次贝塞尔曲线的路径由给定点P0，P1，P2的函数B(t）给出：B(t)=(1−t)2P0+2t(1−t)P1+t2P2,t∈[0,1]
假设P0P1上的点为A，P1P2上的点为B，AB上的点为C（也即C为曲线上的点）。则根据一次贝塞尔曲线公式有：A=(1−t)P0+tP1
B=(1−t)P1+tP2
C=(1−t)A+tB
将上式中的A、B带入C中，即可得到二次贝塞尔曲线的公式：B(t)=(1−t)2P0+2t(1−t)P1+t2P2,t∈[0,1]
二次贝塞尔曲线（三次方公式）#
B(t)=(1−t)3P0+3t(1−t)2P1+3t2(1−t)P2+t3P3,t∈[0,1]
n次贝塞尔曲线（一般参数公式）#
定义：给定点P0,P1,...,Pn，则n次贝塞尔曲线由下式给出：B(t)=i=0∑n(in)Pi(1−t)n−iti=(0n)P0(1−t)nt0+(1n)P1(1−t)n−1t1+...+(n−1n)Pn−1(1−t)n−1tn−1+(nn)Pn(1−t)ntn,t∈[0,1]
P0n=(1−t)P0n−1+tP1n−1,t∈[0,1]
